Question

（2013•聊城一模）已知函數(shù)f（x）=ax-2lnx-

a

x

（I）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

2e

x

，若存在x∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分離參數(shù)求最值，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）g（x）=

2e

x

在[1，e]上是減函數(shù)，且g（x）∈[2，2e]．分類討論求最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′(x)=

ax2-2x+a

x2

①若f′（x）≥0，則ax²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，∵

2

x+ 1 x

≤1，∴a≥1，此時函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②若f′（x）≤0，則ax²-2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≤

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，∵

2

x+ 1 x

＞0，∴a≤0，此時函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
綜上，a≥1或a≤0；
（II）g（x）=

2e

x

在[1，e]上是減函數(shù)，且g（x）∈[2，2e]．
①a≤0時，函數(shù)f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，此時f（x）_max=f（1）=0，不合題意；
②a≥1時，函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，由題意，f（e）＞g（e）
∴a(e-

1

e

)-2＞2
∴a＞

4e

e2-1

；
②當(dāng)0＜a＜1時，∵x-

1

x

≥0∴f（x）=ax-2lnx-

a

x

≤x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2＜2，不合題意
綜上，a＞

4e

e2-1

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問題的研究，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．