Question

【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，不過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)．

（1）如果直線過點(diǎn)，求證： ；

（2）如果，證明：直線必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）過定點(diǎn)

【解析】分析：第一問首先根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線，求得拋物線的方程，根據(jù)直線過的頂點(diǎn)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，得到直線的斜率一定不等于零，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得兩根和與兩根積，之后應(yīng)用向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式求得其為零，從而斷定；第二問先設(shè)出直線的方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，利用數(shù)量積等于零，結(jié)合韋達(dá)定理得到其滿足的關(guān)系，從而證得對(duì)應(yīng)的直線過定點(diǎn).

詳解：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，

所以拋物線的方程為

因?yàn)橹本�過點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為，代入拋物線中

得，

設(shè)

則，

，

所以

所以

即

（2）設(shè)直線的方程為

代入到拋物線方程整理得

設(shè)

根據(jù)韋達(dá)定理，，

因?yàn)?/span>

即

解得， （舍去）

所以直線的方程為

所以不論為何值，直線恒過定點(diǎn)．