Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d滿足：函數(shù)f（x）的圖象關于原點對稱且過點（3，-6），函數(shù)f（x）在點x₁、x₂處取得極值，且|x₁-x₂|=4．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）過點P（1，-8）的切線方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得b=d=0，因此f（x）=ax³+cx，又f（3）=27a+3c=-6   ①
由f′（x）=3ax²+c=0，得，即，c=-12a   ②由①②即可解得．                                   
（II）由（I）知，f′（x）=2x²-8，分別解出f′（x）＞0時，f′（x）＜0即可得出其單調(diào)區(qū)間；
（III）設切點Q（x，y），則點Q處的切線方程為：  ③
注意到及點P（1，-8）在此切線上，
有-8-，解出x即可．
解答：解：（I）由題意f（-x）=-f（x）對x∈R恒成立，解之得b=d=0
所以f（x）=ax³+cx，又f（3）=27a+3c=-6   ①
由f′（x）=3ax²+c=0，得
即，c=-12a   ②
由①②得a=，c=-8
故f（x）=                                    
（II）由（I）知，f′（x）=2x²-8，
當f′（x）＞0時，解得x＜-2或x＞2；
當f′（x）＜0時，解得-2＜x＜2．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-2，2）． 
（III）設切點Q（x，y），則點Q處的切線方程為：  ③
注意到及點P（1，-8）在此切線上，
有-8-，
整理得：，即x=0或
代入方程③得8x+y=0或7x+2y+9=0為所求．
點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、切線方程、函數(shù)的奇偶性等是解題的關鍵．