Question

設

a

=(1，

2

(sinx+cosx))，

b

=(1-2sin2(x+

π

4

)，cos(x+

π

4

))，f(x)=

a

•(

a

+

b

)，求：
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值與最小值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則列出f（x）的解析式，利用同角三角函數(shù)間的基本關系，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡后，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由周期公式即可求出f（x）的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）由第一問確定出的f（x），根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

2+

a

•

b

=1+2(cosx+sinx)2+(1-2sin2(x+

π

4

))+2sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)
=3+2sin2x+cos(2x+

π

2

)+sin(2x+

π

2

)
=3+sin2x+cos2x=3+

2

sin(2x+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，f(x)max=3+

2

，f(x)min=3-

2

．
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)
解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)．

點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的周期及其求法，三角函數(shù)的最值，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性．利用平面向量的數(shù)量積的運算法則及三角函數(shù)的恒等變換確定出f（x）的解析式是解本題的關鍵．