Question

6．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F （-2，0），且離心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M （m，0）在橢圓C的長(zhǎng)軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)|MP|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好是橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比聯(lián)立方程求得a和b，進(jìn)而可得橢圓的方程．
（2）設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可判斷x的范圍．代入$\overrightarrow{MP}$判斷因?yàn)楫?dāng)|$\overrightarrow{MP}$|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，進(jìn)而求得m的范圍．點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上進(jìn)而推脫m的最大和最小值．綜合可得m的范圍．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a²=16，b²=12．
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
（2）設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，
由于橢圓方程為$\frac{x2}{16}$+$\frac{y2}{12}$=1，故-4≤x≤4．
|$\overrightarrow{MP}$|²=（x-m）²+y²=（x-m）²+12（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）
=$\frac{1}{4}$x²-2mx+m²+12=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²．
因?yàn)楫?dāng)|$\overrightarrow{MP}$|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好是橢圓的右頂點(diǎn)，
即當(dāng)x=4時(shí)，|$\overrightarrow{MP}$|²取得最小值，而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上，所以-4≤m≤4．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)常需先設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題設(shè)中關(guān)于長(zhǎng)短軸、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程等求得a和b，進(jìn)而得到答案．