如圖，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，Aˊ、Bˊ、cˊ分別是△PBc、△PCA、△PAB的重心．

(1)求證：平面AˊBˊcˊ∥平面ABC；

(2)求S△AˊBˊCˊ:S△ABC．

 

答案：
解析：

(1)證明：連結(jié)PAˊ、PCˊ并延長(zhǎng)分別交BC、AB于M、N，

∵Aˊ、cˊ分別是△PBC、△PAB的重心，

∴M、N分別是BC、AB的中點(diǎn)．連結(jié)MN，

由==．∴AˊCˊ∥MN，MN平面ABC．

∴AˊCˊ∥平面ABC．

同理AˊBˊ∥平面ABC．而AˊCˊ和AˊBˊ是平面AˊBˊCˊ內(nèi)的相交直線，∴平面AˊBˊCˊ∥平面ABC．

(2)解：由(1)可知AˊCˊ∥MN，AˊCˊ：MN=,

∴AˊCˊ=MN=AC=AC．

同理AˊBˊ∥AB．BˊCˊ=BC．

∴===,

∴△AˊBˊCˊ∽△ABC，

∴S△AˊBˊCˊ∶S△ABC=1∶9．

點(diǎn)評(píng)：相似圖形中，面積之比等于相似比的平方在立體幾何中仍然適用，只需將其相似比求出便可．

 


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精英家教網(wǎng)如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O且PO=1，
（Ⅰ）證明PA⊥BF；
（Ⅱ）求面APB與面DPB所成二面角的大�。�

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（06年安徽卷）（12分）

如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O。

（Ⅰ）證明⊥；

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(1)證明PA⊥BF；

(2)求面APB與面DPB所成二面角的大小.

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（Ⅰ）證明⊥；

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如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O且PO=1，
（Ⅰ）證明PA⊥BF；
（Ⅱ）求面APB與面DPB所成二面角的大小．

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