Question

（09年湖北八校聯(lián)考理）（12分）如圖，已知正三棱柱各棱長(zhǎng)都為，為棱上的動(dòng)點(diǎn)。

（Ⅰ）試確定的值，使得；

（Ⅱ）若，求二面角的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)到面的距離。

Answer 1

解析：【法一】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，作在上的射影. 連結(jié).

則平面，∴，∴是的中點(diǎn)，又，∴也是的中點(diǎn)，

即.  反之當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接、.

∵為正三角形，∴.   由于為的中點(diǎn)時(shí)，

∵平面，∴平面，∴.……4′

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，作在上的射影. 則底面.

作在上的射影，連結(jié)，則.

∴為二面角的平面角。

又∵，∴，∴.

∴，又∵，∴.

∴，∴的大小為.…8′

（Ⅲ）設(shè)到面的距離為，則，∵，∴平面,

∴即為點(diǎn)到平面的距離，

又，∴.

即，解得.即到面的距離為.12′

【法二】以為原點(diǎn)，為軸，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，

為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)，則、、.

（Ⅰ）由得，

即，∴，即為的中點(diǎn)，

也即時(shí)，.…………4′

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.  取.

則，.

∴是平面的一個(gè)法向量。

又平面的一個(gè)法向量為.

∴，∴二面角的大小是.……8′

（Ⅲ）設(shè)到面的距離為，則，∴到面的距離為.