Question

如圖所示，橢圓C：的離心率，左焦點為F₁（-1，0）右焦點為F₂（1，0），短軸兩個端點為A、B，與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k₁，k₂，且．
（1）求橢圓C的方程；     
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由焦點坐標(biāo)可得c值，由離心率可得a值，據(jù)a，b，c關(guān)系可求得b；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，M、N坐標(biāo)分別為 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及斜率公式可用k，b表示出等式，由此可求得b值，進而可求得直線所過定點；
解答：解：（1）由題意可知：橢圓C的離心率e==，且c=1，
∴b²=1，a²=2，
故橢圓C的方程為．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，M、N坐標(biāo)分別為 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=，
∵k₁=，k₂=．
∴k₁k₂=•==，
將韋達定理代入，并整理得=3，即，解得b=2．
∴直線l與y軸相交于定點（0，2）；
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用和基礎(chǔ)知識的熟練掌握．