如圖，A為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB、AC分別過焦點(diǎn)F1、F2．當(dāng)AC垂直于x軸 時(shí)，恰好|AF1|:|AF2=3:1（I）求該橢圓的離心率；（II）設(shè)，，試判斷l(xiāng)1+l2是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

（I）（II）l1+l2是定值6


解析:

：（I）當(dāng)C垂直于x軸時(shí)，

，由，

得，

在Rt△中，

解得 =．

（II）由=，則，．

焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓方程為，

化簡(jiǎn)有．設(shè)，，

①若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為

代入橢圓方程有．

由韋達(dá)定理得：，∴ 

所以，同理可得

故l1+l2=．②若直線軸，，，

 ∴l(xiāng)1+l2＝6． 綜上所述：l1+l2是定值6．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，PF1⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A和短軸頂點(diǎn)B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點(diǎn)，證明∠F1QF2≤
π
2

（3）過F1與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△M F2N的面積為20
3
，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2006-2007學(xué)年江蘇省無錫市濱湖區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓（a＞b＞0）上的焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，PF1⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A和短軸頂點(diǎn)B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點(diǎn)，證明∠F1QF2≤
（3）過F1與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△M F2N的面積為，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年湖北省黃岡中學(xué)高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

如圖，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的焦點(diǎn)，M是∠F1PF2的平分線上的一點(diǎn)，且．有一同學(xué)用以下方法研究|OM|：延長(zhǎng)F2M交PF1于點(diǎn)N，可知△PNF2為等腰三角形，且M為F2N的中點(diǎn)，得．類似地：P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點(diǎn)，M是∠F1PF2的平分線上的一點(diǎn)，且．則|OM|的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知A是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，弦AB過點(diǎn)F2，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，恰好有|AF1|=3|AF2|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)P是橢圓的左頂點(diǎn)，PA，PB分別與橢圓右準(zhǔn)線交與M，N兩點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江西省高考數(shù)學(xué)仿真押題卷10（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知A是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，弦AB過點(diǎn)F2，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，恰好有|AF1|=3|AF2|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)P是橢圓的左頂點(diǎn)，PA，PB分別與橢圓右準(zhǔn)線交與M，N兩點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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