Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）導(dǎo)函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)b_n=

1

2

f′（n）-n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，證明不等式（1+b_n） 

1

bn+1

＞e對一切正整數(shù)n均成立，并比較S₂₀₁₂-1與ln2012的大�。�

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，f′（x），再對k進(jìn)行奇偶數(shù)討論：1°當(dāng)k 為奇數(shù)時；2°當(dāng)k 為偶數(shù)時；分別得出導(dǎo)數(shù)值為正或負(fù)時的x的取值集合，最后綜合即可；
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時，f′（x）=2（x+

1

x

），要證（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，即證（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＞e，兩邊取對數(shù)，即證ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，設(shè)1+

1

n

=t，構(gòu)造函數(shù)g（t）=lnt+

1

t

-1，利用導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)性即可證得lnt＞1-

1

t

，最后利用累乘法即可證出S₂₀₁₂-1＜ln2012．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），又f′（x）=2x-2（-1）^k

1

x

，
1°當(dāng)k 為奇數(shù)時，f′（x）=2x+

2

x

，∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0恒成立；
2°當(dāng)k 為偶數(shù)時，f′（x）=

2(x+1)(x-1)

x

，∵x+1＞0，∴f′（x）＞0得x＞1，即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），
綜上所述，當(dāng)k 為奇數(shù)時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），當(dāng)k 為偶數(shù)時，即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時，f′（x）=2（x+

1

x

），
∴b_n=

1

2

f′（n）-n=

1

n

，S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

要證（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，即證（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＞e，兩邊取對數(shù)，
即證ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

設(shè)1+

1

n

=t，則n=

1

t-1

，
lnt＞1-

1

t

（t＞1），構(gòu)造函數(shù)g（t）=lnt+

1

t

-1，
∵x＞1，∴g′（t）=

1

t

-

1

t2

＞0
∴g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，g（t）＞g（1）＞0
即lnt＞1-

1

t

，∴（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，
S₂₀₁₂-1=（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

）-1=

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

，
∵ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

＜ln2+ln（1+

1

2

）+…+ln（1+

1

2012

）=ln2+ln

3

2

+…+ln

2012

2011

=ln（2×

3

2

×…×

2012

2011

）=ln2012，
∴

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

＜ln2012，

點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．