Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O₁，圓O₂均與x軸相切且圓心O₁，O₂與原點O共線，O₁，O₂兩點的橫坐標(biāo)之積為6，設(shè)圓O₁與圓O₂相交于P，Q兩點，直線l：2x-y-8=0，則點P與直線l上任意一點M之間的距離的最小值為

 

．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：綜合題,直線與圓

分析：設(shè)圓O₁：（x-x₁）²+（y-kx₁）²=k²x₁²，圓O₂：（x-x₂）²+（y-kx₂）²=k²x₂²，兩方程相減與圓O₁聯(lián)立可得x²+y²=6，令y-2x=t，則y=2x+t，代入可得5x²-4tx+t²-6=0，由△=30-t²≥0，可得-

30

≤t≤

30

，利用P到直線l的距離為

|y-2x+8|

5

，即可求出點P與直線l上任意一點M之間的距離的最小值．

解答： 解：設(shè)圓O₁：（x-x₁）²+（y-kx₁）²=k²x₁²，圓O₂：（x-x₂）²+（y-kx₂）²=k²x₂²，
兩方程相減可得：2ky=x₁+x₂-2x，
與圓O₁聯(lián)立可得x²+y²=6，
令y-2x=t，則y=2x+t，代入可得5x²-4tx+t²-6=0，
△=30-t²≥0，可得-

30

≤t≤

30

，
∵P到直線l的距離為

|y-2x+8|

5

，
∴y-2x=t=-

30

時，點P與直線l上任意一點M之間的距離的最小值為

8 5

5

-

6

．
故答案為：

8 5

5

-

6

．

點評：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．