Question

已知定義在區(qū)間[-π，

3π

2

]上的函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x=

π

4

對稱，當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx．
（1）作出y=f（x）的圖象；（2）求y=f（x）的解析式；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=a有解，將方程中的a取一確定的值所得的所有的解的和記為M_a，求M_a的所有可能的值及相應(yīng)的a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx畫出在[

π

4

，

3π

2

]上的圖象；再根據(jù)圖象關(guān)于直線x=

π

4

對稱把另一部分添上即可；
（2）先根據(jù)x∈[-π，

π

4

]得到

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，再結(jié)合當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx即可求出y=f（x）的解析式；
（3）結(jié)合圖象可得：關(guān)于x的方程f（x）=a有解可以分為四個根，三個根，兩個根三種情況，再分別對每種情況求出所有的解的和M_a即可．

解答：解：（1）y=f（x）的圖象如圖所示．
（2）任取x∈[-π，

π

4

]，則

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，因函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=

π

4

對稱，
則f(x)=f(

π

2

-x)．，又當x≥

π

4

時，f(x)=-sinx，則f(x)=f(

π

2

-x)=-sin(

π

2

-x)=-cosx．
即f(x)=

-cosx，x∈[-π π 4 ) -sinx，x∈[ π 4 3π 2 ]

．
（3）當a=-1時，f（x）=a的兩根為0，

π

2

，則Ma=

π

2

；
當a∈(-1，-

2

2

)時，f(x)=a的四根滿足x1＜x2＜

π

4

＜x3＜x4，由對稱性得，x₁+x₂=0，x₃+x₄=π，則M_a=π；
當a=-

2

2

時，f(x)=a的三根滿足x1＜x2=

π

4

＜x3，由對稱性得，x3+x1=

π

2

，則Ma=

3π

4

；當a∈(-

2

2

，1]時，f(x)=a兩根為x1，x2，則對稱性得，Ma=

π

2

．
綜上，當a∈(-1，-

2

2

)時，Ma=π；當a=-

2

2

時Ma=

3π

4

；當a∈(-

2

2

，1]∪{-1}時，Ma=

π

2

．

點評：本題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法以及分類討論思想的運用．解決第二問的關(guān)鍵在于根據(jù)x∈[-π，

π

4

]得到

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]．