Question

如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點(diǎn)，且PA =AB =AC =2，．

（I）求證：CD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角的大��；

（Ⅲ）如果N是棱AB上一點(diǎn)，且直線CN與平面MAB所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

證明：(I)連結(jié)AC．

因?yàn)闉樵?sub>中，

，，

所以，

所以．

因?yàn)?i>AB//CD，

所以．

又因?yàn)?sub>地面ABCD，

所以．

因?yàn)?sub>，

所以平面PAC．

 (II)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則．

因?yàn)?i>M是棱PD的中點(diǎn)，

所以．

所以，．

設(shè)為平面MAB的法向量，

所以，

即，

令，則，

所以平面MAB的法向量．

因?yàn)?sub>平面ABCD，

所以是平面ABC的一個(gè)法向量．

所以．

因?yàn)槎�面�?sub>為銳二面角，

所以二面角的大小為．

(III)因?yàn)?i>N是棱AB上一點(diǎn)，所以設(shè)，．

設(shè)直線CN與平面MAB所成角為，

因?yàn)槠矫?i>MAB的法向量，

所以．

解得，即，，所以．