Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x，設(shè)t＞-2
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在[-2，t]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定t的取值范圍，
（2）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）在[-2，t]上的最小值．

解答：解：（1）因?yàn)閒′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
要使函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則-2＜t≤0，
（2）當(dāng)-2＜t≤0時(shí)，f（x）在[-2，t]上單調(diào)遞增，∴f(x)min=f(-2)=13e-2
當(dāng)0＜t≤1時(shí)，f（x）在（-2，0）上單調(diào)遞增，在（0，t）上單調(diào)遞減
∵f（t）≥f（1）＞f（-2），∴f(x)min=f(-2)=13e-2
當(dāng)t＞1時(shí)，f（x）在（-2，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
同理f（t）≥f（1）＞f（-2），∴f(x)min=f(-2)=13e-2
綜上：當(dāng)f（x）在[-2，t]上的最小值為13e^-2．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．