Question

已知拋物線E的頂點在原點，焦點F在x軸上，直線l過F垂直于x軸且與拋物線E交于AB兩點，若△OAB的面積等于4（O為坐標原點），求拋物線E的方程．

Answer 1

分析：設拋物線E的焦參數為p，根據拋物線的方程算出線段AB長等于2p，原點O到AB的距離等于

p

2

，由此將△OAB的面積表示為關于p的式子，結合題意建立關于p的方程，解出p的值即可得到所求拋物線E的方程．

解答：解：①當拋物線的開口向右時，設拋物線E的方程為y²=2px（p＞0），
可得拋物線E的焦點坐標為F（

p

2

，0），
∵直線l過F垂直于x軸，與拋物線E交于A、B兩點，
∴A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），得|AB|=2p，
因此，△OAB的面積S=

1

2

|AB|•|OF|=4，即

1

2

×2p×

p

2

=4，
化簡得p²=8，得p=2

2

（舍負），拋物線的方程為y2=4

2

x；
②當拋物線的開口向左時，設拋物線E的方程為y²=-2px（p＞0），
利用類似于①的方法，可得拋物線的方程為y2=-4

2

x
綜上所述，可得拋物線E的方程為y2=±4

2

x．

點評：本題給出拋物線的通徑與頂點構成的三角形的面積，求拋物線的方程．著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質、三角形的面積求法等知識，屬于基礎題．