Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+2ax-3．
（1）求f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值．
（2）若f（x），g（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)α的取值范圍．
（3）求證：對(duì)任意的α，都有．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f′（x）＞0，
因此f（x）在[1，3]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（x）_min=f（1）=0
（2）要求f（x），g（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)性相同，而f（x）在[1，3]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以g（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，因?yàn)間（x）=-x²+2ax-3，g′（x）=-2x+2a，即g′（x）≥0當(dāng)x∈[1，3]時(shí)恒成立，
所以-2x+2a≥0，因此a≥x，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)恒成立，
所以a的取值范圍是[3，+∞）．
（3）函數(shù)f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，可知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（）=-，
設(shè)h（x）=，則h′（x）=，可知函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=-，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）≥f（）=-=h（1）≥h（x），
綜上所述，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，
分析：（1）求出f′（x），然后在區(qū)間[1，3]上判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定函數(shù)的增減性，然后得到函數(shù)的最小值即可；
（2）由（1）得到f（x）在[1，3]上為增函數(shù)，所以得到g（x）也為增函數(shù)，即得到g′（x）＞0，求出a的最小值，即可得到a的取值范圍；（3）在區(qū)間（0，+∝）上求出f（x）的最小值，設(shè)h（x）=，求出導(dǎo)函數(shù)得到h（x）的最大值，讓f（x）的最小值大于h（x）的最大值得證．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件．此題是一道綜合題，要求學(xué)生掌握知識(shí)要全面．