Question

對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動點．已知f（x）=x²+bx+c
（1）若f（x）有兩個不動點為-3，2，求函數(shù)y=f（x）的零點？
（2）若c=

b2

4

時，函數(shù)f（x）沒有不動點，求實數(shù)b的取值范圍？

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）-3，2為x²+（b-1）x+c=0的兩根，解方程可求得b、c的值，從而可求得函數(shù)y=f（x）的零點；
（2）函數(shù)f（x）沒有不動點，方程x²+bx+

b2

4

無實數(shù)根，由△＜0即可求得實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解（1）∵f（x）=x²+bx+c有兩個不動點-3，2，
即x²+（b-1）x+c=0有兩個根-3，2
代入方程得b=2，c=-6，
∴f（x）=x²+2x-6，
∴函數(shù)y=f（x）的零點即x²+2x-6=0的根x=-1±

7

，
（2）若c=

b2

4

時，函數(shù)f（x）沒有不動點，即方程x²+bx+

b2

4

無實數(shù)根，
∴△＜0．
解得b＞

1

3

，或b＜-1，

點評：本題主要考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的解法，方程根的情況以及函數(shù)的零點．其中根據(jù)已知中的新定義，構(gòu)造滿足條件的方程是解答本題的關(guān)鍵．