Question

如圖，ABCD為正方形，PA丄面ABCD，E，F(xiàn)分別為BC、CD的中點(diǎn)，PA=AD=2．
（1）求證：面PFD丄面PAD；
（2）求面PAE與面PFD所成的銳二面角．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定，證明面PFD丄面PAD；
（2）建立開(kāi)具直角坐標(biāo)系，求出平面APE的一個(gè)法向量，平面PDF的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求得面PAE與面PFD所成的銳二面角．
解答：（1）證明：∵PA丄面ABCD，CD?面ABCD，∴PA丄CD
∵ABCD為正方形，∴CD⊥AD
∵PA∩DA=A，∴CD⊥平面PAD
∵CD?平面PCD
∴面PFD丄面PAD；
（2）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則，=（2，1，0），
設(shè)平面APE的一個(gè)法向量為，則，∴可取
設(shè)平面PDF的一個(gè)法向量為，∵
∴，∴可取
∴===-
∴面PAE與面PFD所成的銳二面角為arccos．
點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定方法，正確運(yùn)用空間向量解決空間角問(wèn)題，屬于中檔題．