Question

在平面直角坐標系中，若點A、B同時滿足
（1）點A、B都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；
（2）點A、B關(guān)于原點對稱．則稱點對（A，B）是函數(shù)y=f（x）的一個“姐妹點對”（規(guī)定點對（A，B）與點對（B，A）是同一個“姐妹點對”）．若函數(shù)f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一個“姐妹點對”，則a的取值范圍為________．

Answer 1

解：構(gòu)建函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）和函數(shù)y=x+a，函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）關(guān)于原點對稱的函數(shù)為y=-a^-x
∵函數(shù)f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一個“姐妹點對”，
∴函數(shù)y=x+a與y=a^-x只有一個交點
∵a＞1時，y=a^-x單調(diào)減，與函數(shù)y=x+a圖象只有一個交點；
0＜a＜1時，y=a^-x單調(diào)減，與函數(shù)y=x+a圖象沒有交點；
此時有a＞1；
故答案為a＞1．
分析：構(gòu)建函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）和函數(shù)y=x+a，函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）關(guān)于原點對稱的函數(shù)為y=-a^-x，函數(shù)f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一個“姐妹點對”，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x+a與y=-a^-x只有一個交點，由此可得結(jié)論．
點評：本題考查新定義，考查函數(shù)的對稱性，考查學生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．