Question

已知函數(shù)f(x)=x-

4

x

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（2）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f(x)=x-

4

x

，x∈[-2，-1]的值域．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后判定f（-x）與f（x）的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判定；
（2）在區(qū)間（0，+∞）上任取兩個(gè)數(shù)x₁，x₂且x₁＜x₂，然后計(jì)算f（x1）-f（x2），通過(guò)化簡(jiǎn)變形，判定其符號(hào)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定即可；
（3）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在[-2，-1]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域．

解答：（本題14分）
（1）證明：定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
∵f(-x)=-x-

4

-x

=-x+

4

x

=-(x-

4

x

)=-f(x)
∴f（x）為奇函數(shù)
（2）證明：對(duì)于任意x₁，x₂∈（0，+∞）設(shè)x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=x1-

4

x1

-(x2-

4

x2

)=(x1-x2)-(

4

x1

-

4

x2

)=(x1-x2)+

4(x1-x2)

x1x2

=(x1-x2)(1+

4

x1x2

)
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）解：f（x）為奇函數(shù)且在（0，+∞）上是增函數(shù)
∴f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)
∴f_max（x）=f（-1）=-1+4=3f_min（x）=f（-2）=-2+2=0
∴f（x）的值域?yàn)閇0，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定，以及函數(shù)的單調(diào)性的判定和利用單調(diào)性求函數(shù)值域，屬于中檔題．