Question

已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P（2，），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F2M與F2N的斜率互為相反數(shù)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）又點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上，推斷|F1F2|=|PF2|，進(jìn)而求得c，則a和b可得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)直線MN方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），根據(jù)韋達(dá)定理可表示出x1+x2和x1x2，表示出直線F2M和F2N的斜率，由直線F2M與F2N的斜率互為相反數(shù)，可推斷兩直線斜率之和為0，把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的關(guān)系，代入直線方程進(jìn)而可求得直線過定點(diǎn)．

【解析】
（1）由橢圓C的離心率 得，其中，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為又點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上

解得

（2）由題意，知直線MN存在斜率，設(shè)其方程為

由

消去設(shè)

則 且

（8分）

由已知，得

化簡，得

（10分）

整理得

直線MN的方程為，

因此直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0） （12分）．

考點(diǎn)：1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．恒過定點(diǎn)的直線；3．直線與圓錐曲線的綜合問題．