Question

已知雙曲線的離心率為，右準線方程為．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A、B，與y軸交于點M，且，求實數m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據雙曲線的離心率求出a與c的關系，然后根據右準線方程為建立等式關系，求出a與c，最后根據c²=a²+b²求出b，從而求得雙曲線的方程．
（2）設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的坐標表示公式即可求得m值，從而解決問題．
解答：解：（1）由題意，得
解得…（3分）
∴b²=c²-a²=2．∴所求雙曲線C的方程為．…（5分）
（2）設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
由
得x²-2mx-m²-2=0（其中判別式△＞0）
∴x₁+x₂=2m，①x₁x₂=-m²-2．②…（8分）
設M（0，y），則．
由，得．③
由①②③，解得m=±1．…（12分）
所以，m=±1．…（13分）
點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程，以及直線與圓錐曲線的綜合問題，同時考查了計算能力，屬于基礎題．