Question

如圖，三棱錐P-ABC中，平面PBC丄平面ABC，△PBC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，∠ABC=90°，∠BAC=30°，M是BC的中點(diǎn)．
（I ）求證：AC丄 PB；
（II）求二面角C-PA-M的大小．

Answer 1

解：（I）∵面PBC⊥面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥面PBC，∴AC⊥PB
（II）用向量法求解：作PM⊥BC，垂足為M，在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥BC垂足為M，∵平面PBC丄平面ABC，PM，MQ，BC兩兩垂直，如圖建立空間坐標(biāo)系M-xyz，其中M為坐標(biāo)原點(diǎn)．
∵三角形PBC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，，∠ABC=90°，∠BAC=30°，M是BC的中點(diǎn)，
∴A（）P（0，0，a），C（，0，0），
∴，，，
設(shè)平面MPA的法向量為，∴解得
不妨令y=，則
設(shè)平面CAP的方向向量為∴，解得
不妨令z=，則
∴cos＜＞==
∴二面角的大小是arccos
分析：（I）由題意及圖形可以由平面PBC丄平面ABC證明AC⊥面PBC，再有線面垂直的定義得出AC丄 PB；
（II）可建立空間坐標(biāo)系求解二面角，如圖建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz，其中M為坐標(biāo)原點(diǎn)，給出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面MPA的法向量與平面CAP的方向向量，由公式求出兩平面夾角的余弦值，再用反三角函數(shù)表示出二面角C-PA-M的大小
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量求二面角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把難度比較大的二面角的求法，轉(zhuǎn)化成了數(shù)字的運(yùn)算．由于運(yùn)算量大易因?yàn)檫\(yùn)算出錯(cuò)，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)．