Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，且滿足Sn=

1

2

(an+

1

an

)(n∈N*)．
（Ⅰ）求出a₁，a₂，a₃
（II）猜想數(shù)列通項(xiàng){a_n}，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別令n=1，2，3，由a_n＞0，且滿足Sn=

1

2

(an+

1

an

)(n∈N*)，能夠求出a₁，a₂，a₃．
（II）猜想an=

n

-

n-1

，然后由數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n＞0，且滿足Sn=

1

2

(an+

1

an

)(n∈N*)，
∴S1=a1=

1

2

(a1+

1

a1

)
由此能解得a₁=1，a₁=-1（舍）．
s2=1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，
∴a₂²+2a₂-1=0，
解得a2=

2

-1，a2=-

2

-1（舍）
S3=

2

+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)，
a32+2

2

a3 -1=0，
解得a3=

3

-

2

，a3=-

3

-

2

（舍）
∴a1=1，a2=

2

-1，a3=

3

-

2

（II）猜想an=

n

-

n-1

．
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，等式成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即ak=

k

-

k-1

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=Sk+ak+1=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)，
∴

k

+ak+1=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)，
ak+12+2

k

ak+1-1=0，
解得ak+1=

k+1

-

k

，ak+1=-

k+1

-

k

（舍）
故當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．
由①②知，an=

n

-

n-1

．

點(diǎn)評(píng)：第（Ⅰ）題考查數(shù)列中前三項(xiàng)的求法，求解時(shí)要注意函數(shù)思想的應(yīng)用；第（II）題考查歸納總結(jié)的能力和數(shù)學(xué)歸納法的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．