精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

設(shè)M（x，y，z）為空間直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，點M在xOy平面上的射影P的極坐標(biāo)為（ρ，θ）（極坐標(biāo)系以O(shè)為極點，以x軸為極軸），則我們稱三元數(shù)組（ρ，θ，z）為點M的柱面坐標(biāo)．已知M點的柱面坐標(biāo)為 $數(shù)學(xué)公式$ ，則直線OM與xOz平面所成的角為________．

$\text{[math]}$
分析：根據(jù)題意：“M點的柱面坐標(biāo)為 $\text{[math]}$ ，”作出立體圖形，如圖所示．利用長方體模型進行計算即可．在長方體OM中，∠PON= $\text{[math]}$ ，ON=6，MN=1，直線OM與xOz平面所成的角為∠MOQ，利用長方體的性質(zhì)得到對角線的長，再在直角三角形MOQ中，求出sin∠MOQ，從而得出則直線OM與xOz平面所成的角的大�。�
解答：

解：根據(jù)題意作出立體圖形，如圖所示．
在長方體OM中，∠PON= $\text{[math]}$ ，ON=6，MN=1，直線OM與xOz平面所成的角為∠MOQ，
在直角三角形OPN中，OP=ONcos $\text{[math]}$ =3，PN=ONsin $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∴OM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
在直角三角形MOQ中，sin∠MOQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴則直線OM與xOz平面所成的角∠MOQ為 $\text{[math]}$ ．
故答案為： $\text{[math]}$ ．
點評：本題考查直線與平面所成的角和線面角，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造長方體，屬于中檔題．

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附加題：
A．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，弧AB=弧AD，過A點的切線交CB的延長線于E點．
求證：AB²=BE•CD．
B．設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a_n+1=3a_n+2b_n，b_n+1=2b_n，且滿足

an+4

bn+4

，試求二階矩陣M．
C．已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=

3cos2θ+4sin2θ

，點F₁，F(xiàn)₂為其左、右焦點，直線l的參數(shù)方程為

x=2+

（t為參數(shù)，t∈R）．求點F₁，F(xiàn)₂到直線l的距離之和．
D．已知x，y，z均為正數(shù)．求證：

≥

．

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（2013•閘北區(qū)二模）設(shè)M（x，y，z）為空間直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，點M在xOy平面上的射影P的極坐標(biāo)為（ρ，θ）（極坐標(biāo)系以O(shè)為極點，以x軸為極軸），則我們稱三元數(shù)組（ρ，θ，z）為點M的柱面坐標(biāo)．已知M點的柱面坐標(biāo)為(6，

，-1)，則直線OM與xOz平面所成的角為

arcsin

101

arcsin

101

．

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