Question

如果以原點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的頂點(diǎn)，并且被直線x=

a2

c

（c為雙曲線的半焦距）分為弧長(zhǎng)為3：1的兩段弧，則該雙曲線的離心等于…（　　）

• A．2
• B．

  3

• C．

  2

• D．

  6

  2

Answer 1

分析：設(shè)雙曲線焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為A，與x軸交點(diǎn)為B．圓被右準(zhǔn)線分成弧長(zhǎng)為1：2兩段，則劣弧所對(duì)圓心角為120°，由△OFA是等邊三角形，能求出該雙曲線的離心率．

解答：解：設(shè)雙曲線焦點(diǎn)為F，
準(zhǔn)線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為A，與x軸交點(diǎn)為B．
圓被右準(zhǔn)線分成弧長(zhǎng)為1：2兩段，
則劣弧所對(duì)圓心角為120°，
∵∠AOF=60°且AO=OF，
∴△OFA是等邊三角形，
故OF=2OB，即
c=

2a2

c

，
∴(

c

a

)2=2，
解得e=

2

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．