Question

設A(7，1)，B(1，5)，P(7，14)為坐標平面上三點，0為坐標原點，點M為線段OP上的一個動點．

 (I)求向量在向量方向上的投影的最小值；    ．

 (II)當?取最小值時，求點M的坐標；

 (III)當點M滿足(2)的條件和結論時，求cos∠AMB的值．

Answer 1

解：(I)設M(x，y)  ∵點M在線段OP上

    ∴o≤x≤7，且向量與商共線

    又=(x，y)， =(7，14)

   ∴14x一7y=0  ∴．Y=2x．∴M(x，2x)

 　∴＝(7，1)一(x，2x)=(7--x，1―2x)　 = (1，5)一(7，1)=(一6，4)

   ∴在向量方向上的投影為：

   =

   ∴0≤x≤7   ∴當x=7時，所求投影的最小值為

 (Ⅱ)由(I)知=(7一x，1―2x)

    又=(1，5)一(x，2x)=(1―x,5―2x)

   ∴?=(7--x，1―2x)?(1一x，5―2x)

     =(7--x) (1一x+(1―2x)(5―2x)

     =5--8

當x=2∈(0,7)時?取最小值一8，此時點M(2，4)．

(Ⅲ)由(1I)知，=(5，一3)，=(一1，1)

Cos∠AMB＝＝