Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=，且AB=AA₁=2，D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B₁F⊥平面AEF；
（3）求三棱錐E-AB₁F的體積．

Answer 1

（1）證明：設(shè)G是AB的中點，連接DG，CG，則DG平行且等于EC，…（2分）
所以四邊形DECG是平行四邊形，所以DE∥GC，
從而DE∥平面ABC． …（4分）
（2）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，F(xiàn)為BC的中點，∴BC⊥AF，
又∵B₁B⊥平面ABC，B₁B?平面B₁C，
∴平面ABC⊥平面B₁C，
∵平面ABC∩平面B₁C=BC，AF⊥BC
∴AF⊥平面B₁C，
∴B₁F⊥AF…（6分）
∵AB=AA₁=2，∴，
∴，∴B₁F⊥FE，
∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF…（8分）
（3）解：由題意，，…（10分）
∴…（12分）
分析：（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一條直線與DE平行即可，過DE構(gòu)造平行四邊形，使其與平面ABC相交，則可得DE與交線平行，所以進(jìn)一步可得DE∥平面ABC；
（2）證明直線與平面垂直，關(guān)鍵要找到兩條相交直線與之都垂直．有時候題目中沒有現(xiàn)成的直線與直線垂直，需要我們先通過直線與平面垂直去轉(zhuǎn)化一下，如欲證B₁F⊥AF，可以先證明AF⊥平面B₁BCC₁；利用勾股定理，易證明B₁F⊥FE
（3）利用等體積轉(zhuǎn)化，可得結(jié)論．
點評：本題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．