已知函數(shù)f(x)=2cosx•sin(x+
π
3
)+sinx•(cosx-
3
sinx)
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若f(C)=1，c=
2
，求△ABC面積的最大值．
（1）根據(jù)題意，可得
f(x)=2cosx•sin(x+
π
3
)+sinx•(cosx-
3
sinx)
=2cosx(
1
2
sinx+
3
2
cosx)+sinx•cosx-
3
sin2x
=sin2x+
3
cos2x=2sin(2x+
π
3
)
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=
2π
2
=π
令2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，解得kπ+
π
12
≤x≤kπ+
7π
12
（k∈Z）
即單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+
π
12
，kπ+
7π
12
](k∈Z)；（6分）
（2）由f(C)=2sin(2C+
π
3
)=1，解得sin(2C+
π
3
)=
1
2

∵C是△ABC的內(nèi)角，∴2C+
π
3
=
5π
6
，得C=
π
4

由余弦定理，得2=a2+b2-2ab•
2
2
≥2ab-
2
ab
∴ab≤
2
2-
2
=2+
2
（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=
2+
2
時(shí)取等號(hào)）
因此，△ABC面積的最大值為S=
1
2
ab•sinC=
1
2
×(2+
2
)×
2
2
=
2
+1
2
．（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若角A、B、C 成等差數(shù)列，且a=3，c=1，則b的值為（　�。�
A．
3
B．2C．
7
D．7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=
3
，b+c=4，∠B=30°，則c=（　　）
A．
13
4
B．
12
5
C．3D．
13
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

在△ABC中，已知三邊之長(zhǎng)分別為a=3，b=5，c=7，則角C為（　　）
A．90°B．120°C．135°D．150°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b=
2
asinB．
（1）求A的大��；
（2）若b=
6
，c=
3
+1，求a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，則最大內(nèi)角為（　�。�
A．150°B．120°C．135°D．90°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

在△ABC中，B=60°，AB=1，BC=4，則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知向量
m
=(sinx，1)，
n
=(
3
cosx，
1
2
)，函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)•
m
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T及單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A為銳角，a=2
3
，c=4且f（A）是函數(shù)f（x）在[0，
π
2
]上的最大值，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=2
3
sinωxcosωx+2cos2ωx-1（ω＞0）的圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)為P，離P最近的兩個(gè)最高點(diǎn)分別為M、N，且
PM
•
PN
=16-
π2
16
．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若f（
A
2
）=1，且a=2，b+c=4，求△ABC的面積．

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