Question

在極坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P（ρ，θ）運(yùn)動(dòng)時(shí)，ρ與sin2(

θ

2

+

π

4

)成反比，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過點(diǎn)（2，0）
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡其極坐標(biāo)方程．
（II）以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，將（I）中極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說明所得點(diǎn)P軌跡是何種曲線．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）設(shè)ρ=ρ=

k

sin2( θ 2 + π 4 )

，把點(diǎn)（2，0）代入求得k的值，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的坐標(biāo)方程，化簡可得結(jié)果．
（II）由于ρ+ρsin θ=2根據(jù)x=ρcosθ、y=ρsinθ化為直角坐標(biāo)方程，整理可得結(jié)論．

解答： 解：（I）設(shè)ρ=

k

sin2( θ 2 + π 4 )

把點(diǎn)（2，0）代入可得2=

k

sin2 π 4

，
∴k=1…（5分）
∴ρ=

2

1+sinθ

；
（II）∵ρ=

2

1+sinθ

，
∴ρ（1+sinθ）=2，
∵ρ²=x²+y²，ρsinθ=y…（7分）
∴y=-

1

4

x2+1
∴P點(diǎn)軌跡是開口向下，頂點(diǎn)為（0，1）的拋物線      …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求簡單曲線的極坐標(biāo)方程，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，屬于基礎(chǔ)題．