Question

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，且對任意，都有，且。
（1）求的值；
（2）證明：在R上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）若有不等式成立，求的取值范圍。

Answer 1

（1）， ；（2）的取值范圍是。

本題主要考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法。
（1）利用賦值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）先證明0＜f（x）＜1，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用抽象表達(dá)式和已知函數(shù)性質(zhì)證明f（x₁）＜f（x₂），即可得證；
（3）利用抽象表達(dá)式，先將不等式化為f(x+1+ )＜f(1)，再利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式即可得解集。
解（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823233639830758.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823233639908838.png" style="vertical-align:middle;" />，且當(dāng)時(shí)，，所以
（2）當(dāng)時(shí)，，所以，而，所以，所以，對任意的，當(dāng)時(shí)，有
，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823233640501408.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以，即，所以，即，所以在R上是單調(diào)遞增函數(shù)（3）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823233640906799.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，而在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即：，所以，所以，所以的取值范圍是