Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)，且，已知M的橫坐標(biāo)為．
（1）求證：M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；
（2）若，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（3）已知，其中n∈N^*，T_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，T_n＜λ（S_n+1+1），對一切n∈N*都成立，試求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件知M是AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求出M點(diǎn)的給坐標(biāo)．
（2）=，即
以上兩式相加后兩邊再同時(shí)除以2就得到S_n．
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件，由T_n＜λ（S_n+1+1）得，
∴，再由均值不等式求出λ的取值范圍．
解答：解：（1）∵
∴M是AB的中點(diǎn)，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M（x，y），
由，得x₁+x₂=1，則x₂=1-x₁
而
=
∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值
（2）由（1）知若x₁+x₂=1則f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，=
即
以上兩式相加得：═
∴
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n==
由T_n＜λ（S_n+1+1）得
∴
∵，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)“=”成立
∴．
因此，即λ的取值范圍為
點(diǎn)評：本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、數(shù)列求和、均值不等式、對數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難說度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)作答．