Question

已知，橢圓C以過點(diǎn)A（1，），兩個焦點(diǎn)為（－1，0）（1，0）。

求橢圓C的方程；

E,F是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）直線EF的斜率為定值，其值為。

【解析】

試題分析：（1）由題意，c＝1,可設(shè)橢圓方程為。

因?yàn)锳在橢圓上，所以，解得＝3，＝（舍去）。

所以橢圓方程為 ．   　　　　　　6分

（2）設(shè)直線AE方程：得，代入得

設(shè)E（，），F(xiàn)（，）．因?yàn)辄c(diǎn)A（1，）在橢圓上，所以

，

�！　　　　　　　　　　�9分

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得

，

。

所以直線EF的斜率。

即直線EF的斜率為定值，其值為。           13分

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評：中檔題，本題求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用的橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點(diǎn)軸和a,b,c的關(guān)系。研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往應(yīng)用韋達(dá)定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實(shí)現(xiàn)解題目的。