Question

函數(shù)f（x）滿足2f（x）-f(

1

x

)=4x-

2

x

+1，數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足下列條件：a₁=1，a_n+1=2a_n+f（n），b_n=a_n+1-a_n，n∈N；
（1）f（x）的解析式；
（2）求數(shù)列b_n的通項公式；
（3）試比較2a_n與b_n的大小，且證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由2f（x）-f(

1

x

)=4x-

2

x

+1，聯(lián)立方程組

2f(x)-f( 1 x ) =4x- 2 x +1 2f( 1 x ) -f(x)= 4 x -2x+1

，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由題設(shè)，a_n+1=2a_n+2n+1，a_n+2=2a_n+1+2n+3，所以a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）+2，即b_n+1=2b_n+2⇒b_n+1+2=2（b_n+2），由此能求出數(shù)列b_n的通項公式．
（3）由a_n+1-a_n=3•2ⁿ-2，a_n+1-2a_n=2n+1，知a_n=3•2ⁿ-2n-3．所以2a_n-b_n=3•2ⁿ-4n-4．由此能夠判斷比較2a_n與b_n的大小，并進行證明．

解答：解：（1）∵2f（x）-f(

1

x

)=4x-

2

x

+1，
∴2f(

1

x

) -f(x)=

4

x

-2x+1，
聯(lián)立方程組

2f(x)-f( 1 x ) =4x- 2 x +1 2f( 1 x ) -f(x)= 4 x -2x+1

①   ②

，
①×2+②，得3f（x）=6x+3，
∴f（x）=2x+1．（4′）
（2）由題設(shè)，a_n+1=2a_n+2n+1 ①，
a_n+2=2a_n+1+2n+3 ②，
②-①：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）+2 （6′）
即b_n+1=2b_n+2⇒b_n+1+2=2（b_n+2），
∴{b_n+2}為等比數(shù)列，
q=2，b₁=a₂-a₁=4 （8′）
b_n+2=6•2^n-1⇒b_n=3•2ⁿ-2 （10′）
（3）由上，a_n+1-a_n=3•2ⁿ-2 ③，
a_n+1-2a_n=2n+1 ④，
③-④：a_n=3•2ⁿ-2n-3 （12）
∴2a_n-b_n=3•2ⁿ-4n-4．
n=1時，2a₁-b₁=-2＜0，
此時2a_n＜b_n；
n=2時，2a₂-b₂=0，
此時2a_n=b_n； （14′）
n≥3時，
3•2ⁿ
=3（1+1）ⁿ
=3（1+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ）
＞3（1+C_n¹+C_n^n-1）
=6n+3
＞4n+4，
此時，2a_n＞b_n．
綜上可得：當(dāng)n=1時，2a_n＜b_n，
當(dāng)n=2時，2a_n=b_n，
當(dāng)n≥3時，2a_n＞b_n．（18′）

點評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合運用，綜合性強，難度大，容易出錯．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時要認真審題，仔細解答．