Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（a，a）（a＞0）在拋物線上，且|PF|=

5

4

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+b與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．
 ①當(dāng)k=1，b=-4時(shí)，求證：點(diǎn)H（2，0）為△PAB的垂心；
 ②若△PAB的垂心為點(diǎn)H（m，0）（m＞1），試求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用點(diǎn)P（a，a）（a＞0）在拋物線上，且|PF|=

5

4

，建立方程，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）①y=x-4代入y²=x，利用韋達(dá)定理，計(jì)算AB，PH的斜率，證明k_AB•k_PH=-1即可；
②y=kx+b代入y²=x，計(jì)算AB，PH的斜率，利用k_AB•k_PH=-1，即可求b的取值范圍．

解答： （1）解：∵點(diǎn)P（a，a）（a＞0）在拋物線上，且|PF|=

5

4

，
∴a²=2pa，a+

p

2

=

5

4

，∴p=

1

2

，
∴拋物線C的方程是y²=x；
（2）①證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
y=x-4代入y²=x，可得x²-9x+16=0，
∴x₁+x₂=9，∴y₁+y₂=1
∴k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

1

y1+y2

=1，
∵P（1，1），H（2，0），
∴k_PH=

1-0

1-2

=-1，∴k_AB•k_PH=-1；
②解：y=kx+b代入y²=x，可得k²x²+2kbx+b²=0，
∴x₁+x₂=-

2b

k

，∴y₁+y₂=-b
∴k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

1

y1+y2

=-

1

b

，
∵P（1，1），H（m，0），∴k_PH=

1

1-m

，
∵k_AB•k_PH=-1，∴（-

1

b

）•

1

1-m

=-1，
∴b=

1

1-m

∵m＞1，∴b＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．