Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，2cosx），$\overrightarrow$=（5$\sqrt{3}$cosx，cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow{a}$|²-$\frac{7}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{11π}{12}$）時，f（x）=-3，求cos2x的值；
（3）若cosx≥$\frac{1}{2}$，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且f（x）=m有且僅有一個實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量數(shù)量積運算建立關系，求解f（x），利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期
（2）根據(jù)x∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{11π}{12}$）時，出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，f（x）=-3，化簡f（x），可求cos2x的值．
（3）根據(jù)cosx≥$\frac{1}{2}$，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），確定x的范圍，利用數(shù)形結合法作f（x）=m有且僅有一個實根，可得答案．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow{a}$|²-$\frac{7}{2}$．
可得：f（x）=$5\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+sin²x+4cos²x-$\frac{7}{2}$
=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+3+3cos2x$-\frac{7}{2}$
=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{5}{2}$cos2x
=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
（2）當x∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{11π}{12}$）
可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{3π}{2}$，2π]
∵f（x）=-3，即5sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-3
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{3}{5}$
∴cos（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$
∴cos2x=cos[（2x$+\frac{π}{6}$）$-\frac{π}{6}$）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$）+sin（2x+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$）=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$
（3）由題意∵cosx≥$\frac{1}{2}$，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴x∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∵f（x）=m有且僅有一個實根，即函數(shù)f（x）與y=m的圖象只有一個交點．
f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]
令2x+$\frac{π}{6}$=t，則t∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，那么f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）轉化為g（t）=5sint與y=m的圖象只有一個交點．
，g（t）=5sint圖象如下：

從圖象可看出：當-5≤m$＜\frac{5}{2}$或m=5時，函數(shù)y=m與g（t）=5sint只有一個交點．
故得實數(shù)m的取值范圍是{m|-5≤m$＜\frac{5}{2}$或m=5}

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．