Question

【題目】已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；

(2)若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

（1）根據(jù)題意將二次函數(shù)配成頂點(diǎn)式,畫出函數(shù)圖像.通過對(duì)分類討論,即可確定在不同區(qū)間內(nèi)的最小值.

（2）根據(jù)函數(shù)解析式,代入求得,再代入不等式中可得關(guān)于的二次不等式.構(gòu)造函數(shù),即分析對(duì)任意實(shí)數(shù)成立即可.由二次函數(shù)性質(zhì)可知需滿足.得不等式組后,可利用求得的取值范圍.則在此范圍內(nèi)有解即可.構(gòu)造函數(shù),即在時(shí)有解即可.根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱、與y軸交點(diǎn)情況,分類討論即可求得n的取值范圍.

（1）函數(shù)

對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像如下圖所示:

(ⅰ)當(dāng)即時(shí),,

(ⅱ)當(dāng)即時(shí),,

(ⅲ)當(dāng)時(shí),.

綜上,

（2）因?yàn)?/span>

則

因?yàn)?/span>

代入得,變形可得

令,即對(duì)任意實(shí)數(shù),成立

由二次函數(shù)性質(zhì)可得,代入可得

關(guān)于t的不等式組有解即可,

解不等式可得

在上有解即可

令

因?yàn)?/span>,所以,所以函數(shù)與y軸交點(diǎn)位于y軸正半軸

(ⅰ)當(dāng)對(duì)稱軸位于左側(cè)時(shí),滿足即可,也就是,解不等式組可得,

(ⅱ)當(dāng)對(duì)稱軸位于之間時(shí),滿足即可,也就是,解得

(ⅲ)當(dāng)對(duì)稱軸在右側(cè)時(shí),即 時(shí),函數(shù)在時(shí)無解.

綜上可知

又因?yàn)?/span>,

∴n的取值范圍是