Question

為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量，某企業(yè)擬在2010年進(jìn)行技術(shù)改革．經(jīng)調(diào)查測(cè)算，產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量x萬(wàn)件與投入技術(shù)改革費(fèi)用m萬(wàn)元（m≥0）滿足x=3-

k

m+1

（k為常數(shù)）．如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量只能是1萬(wàn)件．已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元．由于市場(chǎng)行情較好，廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品均能銷售出去．廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍（生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（1）將2010年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元（利潤(rùn)=銷售金額-生產(chǎn)成本-技術(shù)改革費(fèi)用）表示為技術(shù)改革費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；
（2）該企業(yè)2010年的技術(shù)改革費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意令m=0代入x=3-

k

m+1

求出常量k，這樣就得出了x與m的關(guān)系式，然后根據(jù)2010年固定收入加再投入資金求出總成本為8+16x，再除以2010的件數(shù)就可以得出2010年每件的成本，而每件的銷售價(jià)格是成本的1.5倍，從而得出了每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×

8+16x

x

（元），然后用每件的銷售單價(jià)×銷售數(shù)量得到總銷售額為x•（1.5×

8+16x

x

）．最后利用利潤(rùn)=銷售金額-生產(chǎn)成本-技術(shù)改革費(fèi)用得出利潤(rùn)y的關(guān)系式．
（2）根據(jù)a+b≥2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)的方法求出y的最大值時(shí)m的取值即可．

解答：解：（1）由題意可知，當(dāng)m=0時(shí)，x=1（萬(wàn)件）∴1=3-k，∴k=2，∴x=3-

2

m+1

每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×

8+16x

x

（元），
∴2010年的利潤(rùn)y=x•[1.5×

8+16x

x

]-(8+16x)-m=-[

16

m+1

+(m+1)]+29(元)(m≥0)

（2）∵m≥0，∴

16

m+1

+(m+1)≥2

16

=8，
∴y≤29-8=21．
當(dāng)

16

m+1

=m+1，即m=3，y_max=21．
∴該企業(yè)2010年的技術(shù)改革費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題列出函數(shù)解析式的能力，以及求函數(shù)最值的問題．