Question

如圖，已知C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G.

（1）求證：CG是⊙O的切線；

（2）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

【答案】

(1)證明:如圖，連接CB、OC.

 

∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°. ∵CH⊥AB，DB⊥AB，

∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，

∴.

又∵HE＝EC，∴BF＝FD.

F是BD中點，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA

=∠CAB=∠ACO，

∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切線 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

(2)由FC=FB=FE，得∠FCE=∠FEC，

可證得FA＝FG，且AB＝BG.

由切割線定理，得

.①

在Rt△BGF中，由勾股定理，得

.②

由①②得-4FG-12=0，

解得FG＝6或FG＝-2（舍去）.

∴AB＝BG＝，∴⊙O半徑為.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

【解析】略