Question

如圖所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD||BC，AB=BC=a，AD=2a，與底面ABCD成30⁰角．若AE⊥PD，E為垂足，PD與底面成30°角．
（1）求證：BE⊥PD；
（2）求異面直線AE與CD所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量數(shù)量積為零可知線線垂直，從而

PD

⊥面BEA，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PD⊥BE；
（2）先分別求出向量

AE

，向量

CD

的坐標(biāo)，然后利用空間向量的夾角公式求出兩向量的夾角的余弦值，即為AE與CD所成角的余弦值；

解答：解：為了計(jì)算方便不妨設(shè)a=1．
（1）證明：根據(jù)題意可得：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）
則 A(0，0，0)，B(1，0，0)D(0，2，0)P(0，0，

2 3

3

)

AB

•

PD

=(1，0，0)•(0，2，-

2 3

3

)=0
又

AE

•

PD

=0∴

AB

⊥

PD

，

AE

⊥

PD

所以

PD

⊥面BEA，BE?面BEA，
∴PD⊥BE
（2）∵PA⊥面ABCD，PD與底面成30°角，
∴∠PDA=30°
過E作EF⊥AD，垂足為F，則AE=AD•sin30°=1，∠EAF=60°
AF=

1

2

，EF=

3

2

∴E(0，

1

2

，

3

2

)，
于是

AE

=(0，

1

2

，

3

2

)
又 C(1，1，0)，D(0，2，0)，

CD

=(-1，1，0)
則 COSθ=

AE • CD

| AE || CD |

=

2

4

∴AE與CD所成角的余弦值為

2

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了線線的位置關(guān)系、線線所成角，以及同時(shí)考查了利用空間向量求解立體幾何問題，考查空間想象能力，運(yùn)算求解能力，屬于綜合題．