Question

如圖在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=CC₁=6，BC=8，AB=10，點D是A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求證：BC⊥AC₁；
（Ⅱ）求證：B₁C∥平面ADC₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明BC⊥AC，CC₁⊥BC，可得BC⊥平面AC₁，即可證明BC⊥AC₁；
（Ⅱ）連接A₁C，A₁C∩AC₁=O，連接OD，證明OD∥B₁C，即可證明B₁C∥平面ADC₁．

解答： 證明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴CC₁⊥BC，
∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴BC⊥AC，
∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面AC₁，
∵AC₁?平面AC₁，
∴BC⊥AC₁；
（Ⅱ）連接A₁C，A₁C∩AC₁=O，連接OD，
∵點D是A₁B₁的中點，
∴OD∥B₁C，
∵B₁C?平面ADC₁，OD?平面ADC₁，
∴B₁C∥平面ADC₁．

點評：本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直的判斷與證明，考查空間想象能力，邏輯推理能力．