Question

已知圓C₁：x²+y²-2x-4y+m=0，
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若直線l：x+2y-4=0與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把x²+y²-2x-4y+m=0變成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)半徑大于0得到m的取值范圍；
（2）先把直線與圓的方程聯(lián)立消去y，因?yàn)镺M⊥ON得到x₁x₂+y₁y₂=0，然后利用根于系數(shù)的關(guān)系求出m即可．

解答：解：（1）配方得（x-1）²+（y-2）²=5-m，所以5-m＞0，即m＜5，
（2）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），∵OM⊥ON，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
由

x+2y-4=0 x2+y2-2x-4y+m=0

得5x²-16x+m+8=0，
因?yàn)橹本�與圓相交于M、N兩點(diǎn)，所以△=16²-20（m+8）＞0，即m＜

24

5

，
所以x₁+x₂=

16

5

，x₁x₂=

m+8

5

，
y₁y₂=

1

4

（4-x₁）（4-x₂）=4-（x₁+x₂）+

1

4

x₁x₂=

4

5

（m+9），
代入解得：m=-

44

5

滿足m＜5且m＜

24

5

，所以m=-

44

5

．

點(diǎn)評：此題是一道直線與圓的方程的綜合題，主要考查學(xué)生對圓標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識，會利用根與系數(shù)的關(guān)系解決數(shù)學(xué)問題．