如圖,AA1、BB1為圓柱OO1的母線,BC是底面圓O的直徑,D、E分別是AA1、CB1的中點.
(I)證明:DE∥平面ABC;
(Ⅱ)若BB1=BC=2,求三棱錐A-A1BC的體積的最大值.
分析:(I)利用線面平行的判定定理證明:DE∥平面ABC;
(Ⅱ)利用錐體的體積公式求體積.
解答:解:(I)證明:連結(jié)EO,OA.
∵E,O分別為B1C,BC的中點,
∴EO∥BB1
又DA∥BB1,且DA=EO=
1
2
BB1
∴四邊形AOED是平行四邊形,
即DE∥OA,DE?平面ABC.
∴DE∥平面ABC..
(II)解:設(shè)AB=x,AC=y,
則三棱錐A-A1BC的體積V=VA1-ABC=
1
3
•2•
1
2
AB•AC=
1
3
xy

又由題,x2+y2=4≥2xy,得xy≤2,且等號當x=y=
2
時成立;
所以三棱錐A-A1BC的體積的最大值為
2
3
點評:本題主要考查空間直線與平面平行的判定定理,以及錐體的體積公式.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,AA1、BB1為圓柱OO1的母線,BC是底面圓O的直徑,D、E分別是AA1、CB1的中點,DE⊥面CBB1
(1)證明:DE∥面ABC;
(2)求四棱錐C-ABB1A1與圓柱OO1的體積比;
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(2013•東莞一模)如圖,AA1、BB1為圓柱OO1的母線,BC是底面圓O的直徑,D、E分別是AA1、CB1的中點,DE⊥面CBB1
(1)證明:DE∥面ABC;
(2)證明:面A1B1C⊥面A1AC;
(3)求四棱錐C-ABB1A1與圓柱OO1的體積比.

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