Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求f(x)在［-1，e］（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值；

（Ⅱ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y= f(x)上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)閒(x)=

當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，f ′(x)=- x (3x -2)，

解f ′(x)＞0得0＜x＜：解f ′(x) ＜0得-1＜x＜0或＜x＜1

∴f(x)在（-1，0）和（，1）上單減，在（0，）上單增，

從而f (x)在x=處取得極大值f ()=…………………………………………………（3分）

又∵f(-1)=2，f(1)=0，

∴f(x)在［-1，1)上的最大值為2. …………………………………………………………（4分）

當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f(x)=alnx，

當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)≤0；

當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在［1，e］單調(diào)遞增；

∴f(x)在［1，e］上的最大值為a. ……………………………………………………………（6分）

∴當(dāng)a≥2時(shí)，f(x)在［-1，e］上的最大值為a；

當(dāng)a＜2時(shí)，f(x)在［-1，e］上的最大值為2. ………………………………………………（8分）

（Ⅱ）假設(shè)曲線y= f(x)上存在兩點(diǎn)P，Q滿足題意，則P，Q只能在y軸兩側(cè)，不妨設(shè)P（t, f(t)）(t＞0),則Q（-t，t³+t²），且t≠1………………………………………………………………（9分）

∵△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形

∴=0，即- t²+f(t)（t³+t²）=0（*）…………………………………………………（10分）

是否存在P，Q等價(jià)于方程（*）是否有解.

若0＜t＜1，則f(x)=- t³+t²，代入方程（*）得：- t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，

即：t⁴-t²+1=0，而此方程無實(shí)數(shù)解，………………………………………………………（11分）

②當(dāng)t＞1時(shí)，

∴f(t)=alnt，代入方程（*）得：- t²+ alnt·（t³+t²）=0，

即：……………………………………………………………………………（12分）

設(shè)h(x)=(x+1)lnx(x≥1),則h′(x)=lnx++1＞0在［1,+∞)恒成立.

∴h(x)在［1,+∞)上單調(diào)遞增，從而h(x)≥h(1)=0，則h(x)的值域?yàn)椋?,+∞).

∴當(dāng)a＞0時(shí)，方程=（t+1）lnt有解，即方程（*）有解. ……………………………（13分）

∴對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f(x)上總存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上. ………………………………………………（14分）