Question

討論函數(shù)f（x）=(

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)-x2+2x的單調(diào)性，并求其值域．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=-x²+2x，則y=(

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)t，本題即研究函數(shù)t的單調(diào)性．由于二次函數(shù)t=-（x-1）²+1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間．結(jié)合t≤1，可得(

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)t≥(

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)1，由此求得函數(shù)的值域．

解答： 解：令t=-x²+2x，則y=(

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)t，故本題即研究函數(shù)t的單調(diào)性．
由于二次函數(shù)t=-x²+2x=-（x-1）²+1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得
t的增區(qū)間為（-∞，1）、減區(qū)間為[1，+∞）．
故函數(shù)y的增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（-∞，1）．
再根據(jù)t≤1，可得(

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)t≥(

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)1=

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，故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇

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，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．