Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，

3(1+an+1)

1-an

=

2(1+an)

1-an+1

，a_na_n+1＜0（n≥1），數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式
（Ⅱ）證明：數(shù)列{b_n}中的任意三項不可能成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）對

3(1+an+1)

1-an

=

2(1+an)

1-an+1

化簡整理得1-

a

2 n+1

=

2

3

(1-

a

2 n

)，令c_n=1-a_n²，進而可推斷數(shù)列{c_n}是首項為c1=

3

4

，公比為

2

3

的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得c_n，則a²_n可得，進而根據(jù)a_na_n+1＜0求得a_n．
（2）假設數(shù)列{b_n}存在三項b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，于是有b_r＞b_s＞b_t，則只有可能有2b_s=b_r+b_t成立，代入通項公式，化簡整理后發(fā)現(xiàn)等式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上上式不可能成立，導致矛盾．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，1-

a

2 n+1

=

2

3

(1-

a

2 n

)
令c_n=1-a_n²，則cn+1=

2

3

cn
又c1=1-

a

2 1

=

3

4

，則數(shù)列{c_n}是首項為c1=

3

4

，公比為

2

3

的等比數(shù)列，即cn=

3

4

(

2

3

)n-1，
故1-

a

2 n

=

3

4

(

2

3

)n-1?

a

2 n

=1-

3

4

(

2

3

)n-1，
又a1=

1

2

＞0，a_na_n+1＜0
故an=(-1)n-1

1- 3 4 ( 2 3 )n-1

因為bn=an+12-an2=1-

3

4

(

2

3

)n-1+

3

4

(

2

3

)n-1=

1

4

•(

2

3

)n-1，
故bn=

1

4

•(

2

3

)n-1
（Ⅱ）假設數(shù)列{b_n}存在三項b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某種順序成等差數(shù)列，
由于數(shù)列{b_n}是首項為

1

4

，公比為

2

3

的等比數(shù)列，于是有2b_s=b_r+b_t成立，則只有可能有2b_r=b_s+b_t成立，
∴2•

1

4

(

2

3

)s-1=

1

4

(

2

3

)r-1+

1

4

(

2

3

)t-1
化簡整理后可知，由于r＜s＜t，所以上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上式不可能成立，導致矛盾．故數(shù)列{b_n}中任意三項不可能成等差數(shù)列．

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．對于用遞推式確定數(shù)列的通項公式問題，常可把通過吧遞推式變形轉換成等差或等比數(shù)列．