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對于定義在區(qū)間D上的函數f(x)和g(x),如果對于任意x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1成立,那么稱函數f(x)在區(qū)間D上可被函數g(x)替代.
(1)若f(x)=
x
2
-
1
x
,g(x)=lnx
,試判斷在區(qū)間[[1,e]]上f(x)能否被g(x)替代?
(2)記f(x)=x,g(x)=lnx,證明f(x)在(
1
m
,m)(m>1)
上不能被g(x)替代;
(3)設f(x)=alnx-ax,g(x)=-
1
2
x2+x
,若f(x)在區(qū)間[1,e]上能被g(x)替代,求實數a的范圍.
分析:(1)構造函數h(x)=f(x)-g(x)=
x
2
-
1
x
-lnx
,通過研究h(x)的導數得出其單調性,從而得出其在區(qū)間[[1,e]上的值域,可以證出f(x)能被g(x)替代;
(2)構造函數k(x)=f(x)-g(x)=x-lnx,可得在區(qū)間(
1
m
,1)
上函數k(x)為減函數,在區(qū)間(1,m)上為增函數,因此函數k(x)在區(qū)間的最小值為k(1)=1,最大值是k(m)大于1,所以不滿足對于任意x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1成立,故f(x)在(
1
m
,m)(m>1)
上不能被g(x)替代;
(3)根據題意得出不等式|alnx-ax+
1
2
x2-x|≤1
,去掉絕對值,再根據x-lnx的正負轉化為a≤
1
2
x2-x+1
x-lnx
a≥
1
2
x2-x+1
x-lnx
,通過討論右邊函數的最值,得出實數a的范圍
解答:解:(1)∵f(x)-g(x)=
x
2
-
1
x
-lnx
,
h(x)=
x
2
-
1
x
-lnx
,
h′(x)=
1
2
+
1
x2
-
1
x
=
x2+2-2x
2x2
>0
,
∴h(x)在[1,e]上單調增,
h(x)∈[-
1
2
,
e
2
-
1
e
-1]

∴|f(x)-g(x)|≤1,即在區(qū)間[[1,e]]上f(x)能被g(x)替代.
(2)記k(x)=f(x)-g(x)=x-lnx,可得k/(x)=
x-1
x

1
m
<x<1
時,k′(x)<0,在區(qū)間(
1
m
,1)
上函數k(x)為減函數,
當1<x<m時,k′(x)>0,在區(qū)間(1,m)上函數k(x)為增函數
∴函數k(x)在區(qū)間的最小值為k(1)=1,最大值是k(m)>1,
所以不滿足對于任意x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1成立,
故f(x)在(
1
m
,m)(m>1)
上不能被g(x)替代;
(3)∵f(x)在區(qū)間[1,e]上能被g(x)替代,
即|f(x)-g(x)|≤1對于x∈[1,e]恒成立.
|alnx-ax+
1
2
x2-x|≤1
-1≤alnx-ax+
1
2
x2-x≤1
,
由(2)知,當x∈[1,e]時,x-lnx>0恒成立,
∴有a≤
1
2
x2-x+1
x-lnx

F(x)=
1
2
x2-x+1
x-lnx
,
F′(x)=
(x-1)(x-lnx)-(1-
1
x
)(
1
2
x2-x+1)
(x-lnx)2
=
(x-1)(
1
2
x+1-lnx-
1
x
)
(x-lnx)2
,
由(1)的結果可知
1
2
x+1-lnx-
1
x
>0
,
∴F'(x)恒大于零,
a≤
1
2

a≥
1
2
x2-x-1
x-lnx

G(x)=
1
2
x2-x-1
x-lnx
,
G′(x)=
(x-1)(x-lnx)-(1-
1
x
)(
1
2
x2-x-1)
(x-lnx)2
=
(x-1)(
1
2
x+1-lnx+
1
x
)
(x-lnx)2

1
2
x+1-lnx+
1
x
1
2
x+1-lnx-
1
x
>0
,
∴G'(x)恒大于零,
a≥
e2-2e-2
2(e-1)

即實數a的范圍為
e2-2e-2
2(e-1)
≤a≤
1
2
點評:本題考查了利用導數研究函數的單調性,通過分類討論解決了不等式恒成立的問題,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

對于定義在區(qū)間D上的函數f(x),若存在閉區(qū)間[a,b]⊆D和常數c,使得對任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且對任意x2∈D,當x2∉[a,b]時,f(x2)>c恒成立,則稱函數f(x)為區(qū)間D上的“平底型”函數.
(Ⅰ)判斷函數f1(x)=|x-1|+|x-2|和f2(x)=x+|x-2|是否為R上的“平底型”函數?并說明理由;
(Ⅱ)設f(x)是(Ⅰ)中的“平底型”函數,k為非零常數,若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f(x)對一切t∈R恒成立,求實數x的取值范圍;
(Ⅲ)若函數g(x)=mx+
x2+2x+n
是區(qū)間[-2,+∞)上的“平底型”函數,求m和n的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•成都二模)對于定義在區(qū)間D上的函數f(x),若滿足對?x1,x2∈D,且x1<x2時都有 f(x1)≥f(x2),則稱函數f(x)為區(qū)間D上的“非增函數”.若f(x)為區(qū)間[0,1]上的“非增函數”且f(0)=l,f(x)+f(l-x)=l,又當x∈[0,
1
4
]
時,f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命題:
①?x∈[0,1],f(x)≥0;
②當x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,時,f(x1)≠f(x)
?x∈[
1
4
,
3
4
]
時,都有f(x)=
1
2

④函數f(x)的圖象關于點(
1
2
,
1
2
)
對稱
其中你認為正確的所有命題的序號為
①③④
①③④

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•鹽城一模)對于定義在區(qū)間D上的函數f(x),若任給x0∈D,均有f(x0)∈D,則稱函數f(x)在區(qū)間D上封閉.
(1)試判斷f(x)=x-1在區(qū)間[-2.1]上是否封閉,并說明理由;
(1)若函數g(x)=
3x+ax+1
在區(qū)間[3,10]上封閉,求實數a的取值范圍;
(1)若函數h(x)=x3-3x在區(qū)間[a,b[(a,b∈Z)上封閉,求a,b的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•綿陽三模)對于定義在區(qū)間D上的函數f(X),若存在閉區(qū)間[a,b]?D和常數c,.使得對任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且對任意x2∈D,當x2∉[a,b]時,f(x2)<c恒成立,則稱函數f(X)為區(qū)間D上的“平頂型”函數.給出下列說法:
①“平頂型”函數在定義域內有最大值;
②“平頂型”函數在定義域內一定沒有最小值;
③函數f(x)=-|x+2|-|x-1|為R上的“平頂型”函數;
④函數f(x)=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數.
則以上說法中正確的是
①③
①③
.(填上你認為正確結論的序號)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•綿陽三模)對于定義在區(qū)間D上的函數f(X),若存在閉區(qū)間[a,b]?D和常數c,使得對任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且對任意x2∈D,當x2∉[a,b]時,f(x2)<c恒成立,則稱函數f(x)為區(qū)間D上的“平頂型”函數.給出下列說法:
①“平頂型”函數在定義域內有最大值;
②函數f(x)=x-|x-2|為R上的“平頂型”函數;
③函數f(x)=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數;
④當t≤
3
4
時,函數,f(x)=
2,(x≤1)
log
1
2
(x-t),(x>1)
是區(qū)間[0,+∞)上的“平頂型”函數.
其中正確的是
①②④
①②④
.(填上你認為正確結論的序號)

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