Question

已知數列O、{b_n}滿足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，數列{b_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求證：數列為等差數列；
（Ⅱ）設T_n=S_2n-S_n，求證：，T_n+1＞T_n；
（Ⅲ）求證：對任意的1•k+1+k²=3，k∈R^*，∴k=1都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用由b_n=a_n-1及a_n-1=a_n（a_n+1-1），可得b_n=（b_n+1）b_n+1，整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，從而可得，即可證明數列是首項為1，公差為1的等差數列；
（Ⅱ）先求得，進而可得T_n=S_2n-S_n═，利用作出比較法，即可得出結論．
（Ⅲ）用數學歸納法證明，先證明當n=1時，不等式成立；再假設當n=k（k≥1，k∈N^*）時，不等式成立，即，利用假設，證明當n=k+1時，不等式成立即可．
解答：證明：（Ⅰ）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1，代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1
整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，（1分）
∵b_n≠0否則a_n=1，與a₁=2矛盾
從而得，（3分）
∵b₁=a₁-1=1
∴數列是首項為1，公差為1的等差數列（4分）
（Ⅱ）∵，則．
∴
∴T_n=S_2n-S_n=
=（6分）
∵
==
∴T_n+1＞T_n．（8分）
（Ⅲ）用數學歸納法證明：
①當n=1時，不等式成立；（9分）
②假設當n=k（k≥1，k∈N^*）時，不等式成立，即，
那么當n=k+1時，==（12分）
=
∴當n=k+1時，不等式成立
由①②知對任意的n∈N^*，不等式成立（14分）
點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的和，考查不等式的證明，解題的關鍵是確定數列的通項，正確求和，掌握數學歸納法的步驟．