Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在非零常數(shù)l，使得對(duì)于任意x⊆M（M⊆D）都有f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調(diào)函數(shù)，l是一個(gè)高調(diào)值．
現(xiàn)給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=(

1

2

)x為R上的高調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sin2x為R上的高調(diào)函數(shù)
③若函數(shù)f（x）=x²+2x為（-∞，1]上的高調(diào)函數(shù)，則高調(diào)值l的取值范圍是（-∞，-4]．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是（　　）

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

分析：因?yàn)閒（x+l）=(

1

2

)x+l，f（x）=(

1

2

)x，要使f（x+l）≥f（x），需要(

1

2

)x+l≥(

1

2

)x恒成立，只需l≤0；即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，所以①對(duì)；對(duì)于②，當(dāng)l=π時(shí)f（x+l）≥f（x），恒成立；所以②對(duì)對(duì)于③，f（x+1）=（x+1）²+2（x+1），f（x）=x²+2x令（x+l）²+2（x+l）≥x²+2x即l²+2lx++2l≥0在（-∞，1]恒成立

l＜0 l2+4l≥0

解得l≤-4故③對(duì)．

解答：解：對(duì)于①，f（x+l）=(

1

2

)x+l，f（x）=(

1

2

)x，要使f（x+l）≥f（x），需要(

1

2

)x+l≥(

1

2

)x恒成立，只需l≤0；即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，所以①對(duì)；
對(duì)于②，f（x+1））=sin2（x+1）≥sin2x=f（x），當(dāng)l=π時(shí)恒成立；所以函數(shù)f（x）=sin2x為R上的高調(diào)函數(shù)
所以②對(duì)
對(duì)于③，f（x+1）=（x+1）²+2（x+1），f（x）=x²+2x
令（x+l）²+2（x+l）≥x²+2x
即l²+2lx++2l≥0在（-∞，1]恒成立
∴

l＜0 l2+4l≥0

解得l≤-4故③對(duì)
故正確的命題個(gè)數(shù)是3個(gè)
故選D

點(diǎn)評(píng)：解決新定義題，關(guān)鍵是理解透題中“高調(diào)函數(shù)”的含義，屬于中檔題．