Question

已知f（x）為二次函數(shù)，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x
（1）求f（x）．
（2）當(dāng)時，求f（2^x）的最大值與最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，因為f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=2x²-4x
所以2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x…（3分）
故有即，所以f（x）=x²-2x-1…（6分）
（2）當(dāng)時，，f（2^x）=（2^x）²-2•2^x-1…．（8分）
令t=2^x，，所以y=t²-2t-1=（t-1）²-2…（10分）
∴函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，
所以當(dāng)時，；當(dāng)t=4時，y_max=7…（12分）
分析：（1）利用待定系數(shù)法，假設(shè)二次函數(shù)，結(jié)合f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x，即可求出函數(shù)的解析式；
（2）利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用配方法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出f（2^x）的最大值與最小值．
點評：二次函數(shù)是重要的初等函數(shù)，待定系數(shù)法也是求二次函數(shù)的重要方法，二次函數(shù)的最值問題，配方法是首選方法．